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Cour Algebre Pour 1er année MI USTHB


Table des matières:


1 ELéMENTS DE LOGIQUE 5
1.1 Opérations Logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 La négation ¬ : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 La Conjonction ∧ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 La Disjonction ∨ : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4 Règles de De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.5 L’Implication =⇒ : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.6 La contraposée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.7 La réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Propriétés des opérations logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 ELéMENTS DE LA THéORIE DES ENSEMBLES 13
2.1 Les Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 Les quanti?cateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2 Parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.3 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Applications et Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1 Composition d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.2 Restriction et prolongement d’une application . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.3 Images et images réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.4 Applications injectives, surjectives, bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.5 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Relations binaires 29
3.1 Relations d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.1 Décomposition d’une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.1 Plus petit, Plus grand élément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.2 Eléments Minimaux et éléments maximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.3 Borne Inférieure, Borne Supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Le Cours d’Algèbre. -3- Par M. Mechab4 STRUCTURES ALGEBRIQUES 39
4.1 Lois de Compositions Internes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1.1 Unicité de l’inverse (du symétrique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Structure de Groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.1 Groupes à deux éléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.2 Sous groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.3 Goupes Quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2.4 Homomorphismes de Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3 Structure d’Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3.1 Sous Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3.2 Homomorphismes d’Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3.3 Idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3.4 Anneaux Quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4.1 Caractéristique d’un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60



mercii bcp ^^
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Mercii bcp

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